施工技术
CONSTＲUCTIONTECHNOLOGY2018
年 12 月
第
47 卷增刊
基于半正定规划的有限元下限极限分析
魏懿源 ，杨志双
(吉林大学建设工程学院 ，吉林长春 130021 )
［摘要 ］半正定规划为解决涉及的优化问题提供方便框架 ，适 用 于 遵 循 以 Hoek-Brown 为代表的非线性破坏准则极
限分析
，更符合岩土体实际状态 。通过使用 SDP 求解器 MOSEK 计算算例与其他方法的对比发现 ，半正定规划能准
确高效解决大规模优化问题
，不需对屈服面进行光滑处理 。
［关键词 ］半正定 ;非线性 ;破坏准则 ;极限 ;有限元分析
［中图分类号 ］TP31 ［文献标识码 ］A ［文章编号 ］1002-8498 (2018 )S2-1802-03
Lower-boundFiniteElementAnalysisUsingSemi-positiveDefinite
WEIYiyuan ，YANGZhishuang
(CollegeofConstructionEngineering ，JilinUniversity ，Changchun ，Jilin 130021 ，China )
Abstract :Semi-positivedefiniteprovidesaconvenientframeworkforsolvingtheoptimizationproblems ，andissuitablefor
followingthelimitanalysisofnonlinearfailurecriterionrepresentedbyHoek-Brown
，whichmoremissestheactualstateof
rockandsoil．ByusingtheSDPsolverMOSEKcalculationexampleandcomparingwithothermethods
，itisfoundthatthe
semi-definitedefinitecansolvethelarge-scaleoptimizationproblemaccuratelyandefficiently
，anditisnotnecessaryto
smooththeyieldsurface．
Keywords :semi-positivedefinite ;nonlinear ;failurecriterion ;limit ;finiteelementanalysis
［作者简介 ］魏懿源 ，硕士研究生 ，E-mail :17843103108@163．com ［收稿日期 ］2018-09-20
0 引言
极限分析在结构 、岩土工程 、机械工程中是非常有
用的工具
，自 20 世纪 60 年代后期以来 ，人们对其进行
了广泛的研究
，边界理论的数值应用实现了应力和位
移的有限元离散化
［1］，允许有严格的上下限解法 ，可以
获得复杂几何形 状 和 结 构 的 荷 载
［2］，但是会面临大规
模优化问题
，因此希望利用基于单纯形法或内点法的
线性规划有效算法解决
［3-4］。
在过去的 15 年，相继出现了 SOCP 和 SDP ，同样包
括线性的目标函数及线性等式约束
，但与线性规划不
同
，允许某些非线性不等式约束具有凸锥形状 ，具体来
说
，在 SOCP 中被称为二次锥体 ，在 SDP 中为半正定矩
阵锥体
。在 SOCP 和 SDP 中使用内点法能非常高效地
处理问题
［5-6］。
有限元极限分析和锥规划已经解决了平面应变稳
定性问题
，包 括 Drucker-Prager 准 则 和 二 维 Mohr-Cou-
lomb
屈 服 准 则 ［7］，最 近 SDP 成 功 地 用 于 三 维 Mohr-
Coulomb
屈服准则 ［8-9］，该准则被广泛应用于土体剪切
破坏
，作为对比 ，Hoek-Brown 准则涉及复杂的非线性关
系
，导致之前难以被实现 ，当 Hoek-Brown 准则的指数 α
=0．5 时，能够用主 应 力 表 示 为 锥 约 束 ，使 得 应 用 SDP
变为可能 。使用该技术的优势在于 :① 不 需 对 屈 服 函数进行光滑处理
，包括屈服锥顶点 ;②现有的算法能够
不经过修改直接使用
;③从计算的角度看 ，处理大规模
优化计算的时间高效
、稳定 。
计 划 采 用 SDP 同 时 利 用 有 限 元 下 限 极 限 分 析 涉
及
Hoek-Brown 准则的材料稳定性 问 题 ，利 用 锥 规 划 求
解器
MOSEK ，通过算例计算 ，与已有方法进行对比 ，证
明该技术能够准确高效地处理复杂大规模非线性优化
问题
，更加符合实际情况 。
1 Hoek-Brown 屈服准则
Hoek-Brown 屈服准则用于预测岩土体稳定性 。屈
服准则基于
4个 基 本 参 数 ，即 完 整 岩 体 的 单 轴 抗 压 强
度
(σci)、参数 mi、地质强度指数 (GSI )、干扰指数 (D)。
经过不断修 正 最 近 的 Hoek-Brown 屈 服 准 则 有 如 下 形
式
:
f(σ)=－ σ3+σ1
－－ mbσ1(－σci
1－αα)
+s(－σci)1 α
α
(1)
式中 :σ1，σ2分别为有效主要和次 要 主 应 力 ，因 此 拉 伸
法向应力为 正 值
，且 σci值 已 包 含 在 负 号 中 。 σ3是 最
大的压缩主应力
。 参 数 mb，mi之 间 的 关 系 、s，α，D及
GSI 表示如下 :
mb=miexp (GSI－100
28－14
D)
2 0 8 1
s=exp (GSI－100
9－3
D )
α=1
2+ 1
6(e－GSI15－ e－202) ( 2)
参数 GSI 的范围从 10 到 100 ，对应从极差到非常
坚固的岩 体
;参 数 mi一 般 1～40 不 等 ;D为 1个 干 扰
因素
，0表示未受干扰的岩体 、1表示高度受干扰的岩
石质量
。指数 α成为岩石参数的 GSI 函数 。因此 α值
相应地从
0．59 到 0．50 变 化 对 应 GSI 值 10～100 。 目
前在分析中
，参数 D=0 。为使问题在缩放变量方面可
以用
SOCP 表 示 ，指 数 α=0．5 。 使 用 固 定 值 α=0．5
后，对应屈服函数 f(σ)表达式为 :
f(σ)=－ σ3+σ1－［－ασ 1+b］0．5=0 (3)
式中 :α=－ mbσci;b=sσ2
ci。主 要 强 调 σ1和 σ3成 为 对
称应力的最大和最小特征值张量
。
2 Hoek-Brown 屈服准则应用条件
基于半正定规划的有限元下限极限分析（论文）.pdf
